Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika
Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika merupakan Modul PPG Matematika dalam rangka Sertifikasi Guru (Sergur) Kemenag yang diterbitkan sebagai Modul PPG Khusus Guru Madrasah Kemenag Mata Pelajaran Matematika dan diharapkan dapat menjadi salah satu media belajar dalam bentuk Modul Persiapan PPG Kemenag Mapel Matematika
Sebelum membahas tentang pernyataan, kita bahas terlebih dahulu apa yang disebut kalimat dan pernyataan. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut tata bahasa dan mengandung arti. Dalam logika matematika hanya dibicarakan kalimat-kalimat yang berarti menerangkan (kalimat deklaratif), yang disebut pernyataan. Pernyataan mungkin bernilai benar saja atau bernilai salah saja. Benar atau salahnya sebuah pernyataan disebut nilai kebenaran pernyataan itu, dan ditentukan oleh realitas yang dinyatakannya atau kesepakatan terdahulu. Logika yang kita bahas di sini adalah logika matematika dua nilai, yaitu nilai BENAR (B) dan nilai SALAH (S).
Di dalalm Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika menjelaskan bahwa Pernyataan yang hanya menyatakan pikiran tunggal dan tidak mengandung kata hubung kalimat disebut pernyataan sederhana/pernyataan primer. Sedangkan pernyataan yang terdiri atas satu atau lebih pernyataan sederhana dengan bermacammacam kata hubung kalimat disebut pernyataan majemuk/pernyataan komposit.
Dalam logika matematika, suatu pernyataan umumnya disimbolkan dengan huruf kecil, seperti a, b, c, . . . atau p, q, r, . . . atau kadangkala digunakan huruf besar A, B, C, . . . atau P, Q, R, . . . . Sedangkan nilai benar disimbolkan ”B” atau “1 (satu)” dan nilai salah disimbolkan dengan “S” atau “0 (nol)”.
Pada kegiatan belajar sebelumnya telah dibahas bagaimana cara membuktikan keabsahan argumen dengan bukti formal. Salah satu cara yang digunakan dikenal dengan bukti formal dengan cara langsung dan disingkat dengan Bukti Langsung. Akan tetapi tidak semua argumen dapat dibuktikan dengan bukti langsung. Cara lain untuk membuktikan keabsahan argumen dengan bukti formal yaitu dengan Aturan Bukti Bersyarat (ABB).
Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika, Modul PPG Matematika Sertifikasi Guru (Sergur) Kemenag, Modul PPG Khusus Guru Madrasah Kemenag Mata Pelajaran Matematika, Modul Persiapan PPG Kemenag Mapel Matematika dapat anda download pada tautan di bawah
Catatan: Yang perlu diingat bahwa ABB dapat digunakan apabila konklusi argumen tersebut merupakan implikasi. Adapun langkah-langkah pembuktian Aturan Bukti Bersyarat yaitu sebagai berikut.
1) Menulis premis-premis yang diketahui. 2) Menarik anteseden dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan) dan konsekuennya merupakan konklusi dari argument (konklusi baru). 3) Menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian untuk menemukan konlusi sesuai dengan konklusi baru.
Seperti yang tercantum di dalam Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika menyatakan yakni selain dengan cara Aturan Bukti Bersyarat masih ada cara lain untuk membuktikan keabsahan argumen yaitu dengan Bukti Tak Langsung. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut ; 1) Menulis premis-premis yang diketahui. 2) Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan). 3) Dengan menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi. 4) Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan prinsip Adisi dan Silogisme Disjungtif .
Selain itu pada Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika juga menguraikan bahwa salam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada dengan tujuannya adalah visualisasi objek-objek agar mudah dimengerti. Beberapa contoh graf dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya: struktur organisasi, rangkaian listrik, peta, dan bagan alir pengambilan mata kuliah. Teori graf merupakan cabang matematika yang sudah ada sejak lebih dari dua ratus tahun lalu.
Modul PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika menjelaskan bahwa teori graf diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Swis Leonhard Euler pada tahun 1736. Konigsberg adalah sebuah kota di sebelah timur negara bagian Prussia di Jerman, sekarang bernama kota Kaliningrat. Di kota tersebut terdapat sungai Pregal yang mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua buah anak sungai. Ada tujuh buah jembatan yang menghubungkan daratan yang dibelah oleh sungai tersebut.
Tertulis di dalam Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika menguraikan bahwa permasalahan jembatan Konigsberg ini adalah sebagai berikut: apakah mungkin seseorang tepat sekali melewati masingmasing jembatan itu dan kembali ke tempat asal keberangkatannya. Euler merupakan orang pertama yang berhasil menemukan jawaban masalah ini dengan pembuktian yang sederhana. Dia menggunakan graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg ini. Teori graf mengalami perkembangan yang sangat pesat yaitu terjadi pada beberapa dasa warsa terakhir ini.
Dalam Modul PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika juga diuraikan tentang salah satu alasan perkembangan teori graf yang sangat pesat adalah aplikasinya pada ilmu komputer, teknik, sains, bahkan bisnis dan ilmu sosial. Graf menunjuk pada diagram yang terdiri atas titik-titik yang saling terhubung dengan sisi bukan sebagai gambar grafik fungsi. Dalam hal ini, graf digunakan untuk menyatakan hubungan-hubungan yang terjadi antara objek-objek. Keterhubungan antara titik-titik ini dapat menunjukkan ikatan kimia antar atom di dalam molekul, kabel antar terminal dalam jaringan listrik, jalan raya antar kota dalam peta, dan sebagainya.
Dengan graf ini dapat dilihat bagaimana matematika yang sebenarnya beraksi menyelesaikan masalah-masalah penting dan berharga. Graf bisa digunakan dalam bidang kimia, genetika, musik, transportasi, linguistik, teori kontrol, dan ilmu-ilmu sosial. Graf juga banyak dipakai untuk membantu masalah-masalah yang berkaitan dengan kecerdasan buatan (artificial intelligence).
Materi yang dipelajari dalam Modul PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika ini meliputi konsep-konsep dasar teori graf, jenis-jenis graf tertentu, dan pewarnaan graf. Konsep-konsep dasar graf meliputi pengertian graf, keterhubungan graf, graf bagian, isomorfisme graf, derajat titik, dan penyajian graf dengan matriks. Jenis-jenis graf tertentu yang dibahas dalam modul ini, diantaranya adalah graf bipartisi, graf lengkap, graf planar dan graf bidang, graf Euler dan semi-Euler, graf Hamilton dan semi-Hamilton, dan pohon. Sedangkan pada bagian pewarnaan graf, dibahas pewarnaan titik, pewarnaan sisi, dan pewarnaan peta serta contoh aplikasi pewarnaan dalam kehidupan sehari-hari.
Modul PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika ini ditulis dengan harapan dapat menjadi salah satu referensi dalam mempelajari Teori Graf. Agar modul ini memiliki manfaat secara optimal bagi para mahasiswa PPG Hybrid Learning Dalam Jabatan, maka petunjuk belajar untuk mempelajari modul ini adalah sebagai berikut.
1. Modul PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika ini tidak boleh dijadikan satu-satunya sumber belajar dalam mempelajari Teori Graf. Para peserta PPG Hybrid Learning Dalam Jabatan wajib menambah buku-buku tentang Teori Graf yang relevan, sebagai sumber belajar lain untuk dibaca dan dipelajari. 2. Pelajari modul ini halaman demi halaman secara urut. 3. Di bagian akhir modul ini terdapat tugas dan tes formatif serta tes sumatif. Kerjakan setiap soal yang ada dan nilai yang diperoleh agar dijadikan sebagai umpan balik untuk menilai lagi apakah materi dalam kegiatan belajar sudah dikuasai dengan baik atau belum
4. Keberhasilan pembelajaran dalam mempelajari modul ini sangat tergantung kepada kesungguhan dalam belajar, mengerjakan tugas dan menyelesaikan tes. 5. Diskusikan dengan teman kalian dalam sebuah grup/kelompok belajar, jika menemui kesulitan, khususnya dalam memahami konsep dalam Teori Graf atau jika ada kesulitan saat mengerjakan soal-soalnya. 6. Jika tetap mengalami kesulitan yang tidak teratasi dalam kelompok belajar, diskusikan di kelas dengan difasilitasi oleh dosen pengampu.
Pada pewarnaan titik, ada beberapa algoritma untuk melakukan pewarnaan dengan banyak warna yang minimum pada sebuah graf. Salah satu algoritma untuk pewarnaan titik tersebut adalah algoritma WelchPowell. Berikut langkah-langkah pewarnaan titik pada graf ?? dengan menggunakan algoritma Welch-Powell.
1) Urutkan titik-titik dari graf ?? dalam derajat yang menurun (urutan seperti ini mungkin tidak unik karena beberapa titik mungkin berderajat sama). 2) Gunakan warna 1 untuk mewarnai titik pertama (yang mempunyai derajat tertinggi) dan titik-titik lain (dalam urutan yang berurut) yang tidak bertetangga dengan titik pertama ini. 3) Mulai lagi dengan titik derajat tertinggi berikutnya di dalam daftar terurut yang belum diwarnai dan ulangi proses pewarnaan. 4) Ulangi penambahan warna-warna sampai semua titik telah diwarnai.
Untuk pemahaman yang lebih detail tentang Materi PPG Matematika Kemenag maka alangkah baiknya jika anda segera Download Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika pada tautan yang telah disediakan di akhir artikel.
Supaya materi persiapan PPG Kemenag Mapel Matematika anda lebih lengkap maka sangat disarankan kepada anda untuk Unduh Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika pada tautan yang telah tersedia di bawah ini
materi ppg kemenag matematika
Jangan lupa bagikan informasi tentang Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika ini ke rekan Guru lainnya agar bermanfaat. Dapatkan update Materi PPG langsung ke smartphone anda dengan mengikuti dapodikdasmen disini >> Follow
Sebelum membahas tentang pernyataan, kita bahas terlebih dahulu apa yang disebut kalimat dan pernyataan. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut tata bahasa dan mengandung arti. Dalam logika matematika hanya dibicarakan kalimat-kalimat yang berarti menerangkan (kalimat deklaratif), yang disebut pernyataan. Pernyataan mungkin bernilai benar saja atau bernilai salah saja. Benar atau salahnya sebuah pernyataan disebut nilai kebenaran pernyataan itu, dan ditentukan oleh realitas yang dinyatakannya atau kesepakatan terdahulu. Logika yang kita bahas di sini adalah logika matematika dua nilai, yaitu nilai BENAR (B) dan nilai SALAH (S).
Di dalalm Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika menjelaskan bahwa Pernyataan yang hanya menyatakan pikiran tunggal dan tidak mengandung kata hubung kalimat disebut pernyataan sederhana/pernyataan primer. Sedangkan pernyataan yang terdiri atas satu atau lebih pernyataan sederhana dengan bermacammacam kata hubung kalimat disebut pernyataan majemuk/pernyataan komposit.
Dalam logika matematika, suatu pernyataan umumnya disimbolkan dengan huruf kecil, seperti a, b, c, . . . atau p, q, r, . . . atau kadangkala digunakan huruf besar A, B, C, . . . atau P, Q, R, . . . . Sedangkan nilai benar disimbolkan ”B” atau “1 (satu)” dan nilai salah disimbolkan dengan “S” atau “0 (nol)”.
Pada kegiatan belajar sebelumnya telah dibahas bagaimana cara membuktikan keabsahan argumen dengan bukti formal. Salah satu cara yang digunakan dikenal dengan bukti formal dengan cara langsung dan disingkat dengan Bukti Langsung. Akan tetapi tidak semua argumen dapat dibuktikan dengan bukti langsung. Cara lain untuk membuktikan keabsahan argumen dengan bukti formal yaitu dengan Aturan Bukti Bersyarat (ABB).
Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika, Modul PPG Matematika Sertifikasi Guru (Sergur) Kemenag, Modul PPG Khusus Guru Madrasah Kemenag Mata Pelajaran Matematika, Modul Persiapan PPG Kemenag Mapel Matematika dapat anda download pada tautan di bawah
Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika
Catatan: Yang perlu diingat bahwa ABB dapat digunakan apabila konklusi argumen tersebut merupakan implikasi. Adapun langkah-langkah pembuktian Aturan Bukti Bersyarat yaitu sebagai berikut.
1) Menulis premis-premis yang diketahui. 2) Menarik anteseden dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan) dan konsekuennya merupakan konklusi dari argument (konklusi baru). 3) Menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian untuk menemukan konlusi sesuai dengan konklusi baru.
Seperti yang tercantum di dalam Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika menyatakan yakni selain dengan cara Aturan Bukti Bersyarat masih ada cara lain untuk membuktikan keabsahan argumen yaitu dengan Bukti Tak Langsung. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut ; 1) Menulis premis-premis yang diketahui. 2) Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan). 3) Dengan menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi. 4) Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan prinsip Adisi dan Silogisme Disjungtif .
Selain itu pada Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika juga menguraikan bahwa salam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada dengan tujuannya adalah visualisasi objek-objek agar mudah dimengerti. Beberapa contoh graf dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya: struktur organisasi, rangkaian listrik, peta, dan bagan alir pengambilan mata kuliah. Teori graf merupakan cabang matematika yang sudah ada sejak lebih dari dua ratus tahun lalu.
Modul PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika menjelaskan bahwa teori graf diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Swis Leonhard Euler pada tahun 1736. Konigsberg adalah sebuah kota di sebelah timur negara bagian Prussia di Jerman, sekarang bernama kota Kaliningrat. Di kota tersebut terdapat sungai Pregal yang mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua buah anak sungai. Ada tujuh buah jembatan yang menghubungkan daratan yang dibelah oleh sungai tersebut.
Tertulis di dalam Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika menguraikan bahwa permasalahan jembatan Konigsberg ini adalah sebagai berikut: apakah mungkin seseorang tepat sekali melewati masingmasing jembatan itu dan kembali ke tempat asal keberangkatannya. Euler merupakan orang pertama yang berhasil menemukan jawaban masalah ini dengan pembuktian yang sederhana. Dia menggunakan graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg ini. Teori graf mengalami perkembangan yang sangat pesat yaitu terjadi pada beberapa dasa warsa terakhir ini.
Dalam Modul PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika juga diuraikan tentang salah satu alasan perkembangan teori graf yang sangat pesat adalah aplikasinya pada ilmu komputer, teknik, sains, bahkan bisnis dan ilmu sosial. Graf menunjuk pada diagram yang terdiri atas titik-titik yang saling terhubung dengan sisi bukan sebagai gambar grafik fungsi. Dalam hal ini, graf digunakan untuk menyatakan hubungan-hubungan yang terjadi antara objek-objek. Keterhubungan antara titik-titik ini dapat menunjukkan ikatan kimia antar atom di dalam molekul, kabel antar terminal dalam jaringan listrik, jalan raya antar kota dalam peta, dan sebagainya.
Dengan graf ini dapat dilihat bagaimana matematika yang sebenarnya beraksi menyelesaikan masalah-masalah penting dan berharga. Graf bisa digunakan dalam bidang kimia, genetika, musik, transportasi, linguistik, teori kontrol, dan ilmu-ilmu sosial. Graf juga banyak dipakai untuk membantu masalah-masalah yang berkaitan dengan kecerdasan buatan (artificial intelligence).
Materi yang dipelajari dalam Modul PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika ini meliputi konsep-konsep dasar teori graf, jenis-jenis graf tertentu, dan pewarnaan graf. Konsep-konsep dasar graf meliputi pengertian graf, keterhubungan graf, graf bagian, isomorfisme graf, derajat titik, dan penyajian graf dengan matriks. Jenis-jenis graf tertentu yang dibahas dalam modul ini, diantaranya adalah graf bipartisi, graf lengkap, graf planar dan graf bidang, graf Euler dan semi-Euler, graf Hamilton dan semi-Hamilton, dan pohon. Sedangkan pada bagian pewarnaan graf, dibahas pewarnaan titik, pewarnaan sisi, dan pewarnaan peta serta contoh aplikasi pewarnaan dalam kehidupan sehari-hari.
Modul PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika ini ditulis dengan harapan dapat menjadi salah satu referensi dalam mempelajari Teori Graf. Agar modul ini memiliki manfaat secara optimal bagi para mahasiswa PPG Hybrid Learning Dalam Jabatan, maka petunjuk belajar untuk mempelajari modul ini adalah sebagai berikut.
1. Modul PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika ini tidak boleh dijadikan satu-satunya sumber belajar dalam mempelajari Teori Graf. Para peserta PPG Hybrid Learning Dalam Jabatan wajib menambah buku-buku tentang Teori Graf yang relevan, sebagai sumber belajar lain untuk dibaca dan dipelajari. 2. Pelajari modul ini halaman demi halaman secara urut. 3. Di bagian akhir modul ini terdapat tugas dan tes formatif serta tes sumatif. Kerjakan setiap soal yang ada dan nilai yang diperoleh agar dijadikan sebagai umpan balik untuk menilai lagi apakah materi dalam kegiatan belajar sudah dikuasai dengan baik atau belum
4. Keberhasilan pembelajaran dalam mempelajari modul ini sangat tergantung kepada kesungguhan dalam belajar, mengerjakan tugas dan menyelesaikan tes. 5. Diskusikan dengan teman kalian dalam sebuah grup/kelompok belajar, jika menemui kesulitan, khususnya dalam memahami konsep dalam Teori Graf atau jika ada kesulitan saat mengerjakan soal-soalnya. 6. Jika tetap mengalami kesulitan yang tidak teratasi dalam kelompok belajar, diskusikan di kelas dengan difasilitasi oleh dosen pengampu.
Pada pewarnaan titik, ada beberapa algoritma untuk melakukan pewarnaan dengan banyak warna yang minimum pada sebuah graf. Salah satu algoritma untuk pewarnaan titik tersebut adalah algoritma WelchPowell. Berikut langkah-langkah pewarnaan titik pada graf ?? dengan menggunakan algoritma Welch-Powell.
1) Urutkan titik-titik dari graf ?? dalam derajat yang menurun (urutan seperti ini mungkin tidak unik karena beberapa titik mungkin berderajat sama). 2) Gunakan warna 1 untuk mewarnai titik pertama (yang mempunyai derajat tertinggi) dan titik-titik lain (dalam urutan yang berurut) yang tidak bertetangga dengan titik pertama ini. 3) Mulai lagi dengan titik derajat tertinggi berikutnya di dalam daftar terurut yang belum diwarnai dan ulangi proses pewarnaan. 4) Ulangi penambahan warna-warna sampai semua titik telah diwarnai.
Untuk pemahaman yang lebih detail tentang Materi PPG Matematika Kemenag maka alangkah baiknya jika anda segera Download Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika pada tautan yang telah disediakan di akhir artikel.
Download Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika
Supaya materi persiapan PPG Kemenag Mapel Matematika anda lebih lengkap maka sangat disarankan kepada anda untuk Unduh Materi PPG Kemenag Mata Pelajaran Matematika pada tautan yang telah tersedia di bawah ini
BAGIKAN KE
